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mercredi 27 juillet 2016

Mes tables d'addition Montessori


Et oui, je sais : j'avais dit que je n'achèterai plus de matériel Montessori... et j'ai craqué. Il y a quelques semaines, j'ai commandé le tableau à bandes d'additions chez Tangram Montessori... et je ne le regrette pas ! 😄

Pourquoi cette décision ? C'est un craquage, certes, mais il était tout de même un peu réfléchi... si, si ! 

1. Tout d'abord, c'est un matériel qu'on peut très aisément utiliser de manière "décrochée", même lorsqu'on n'utilise pas en parallèle le matériel de numération montessorien (perles etc.). Pour la maison, j'hésite encore quant à l'acquisition de ce matériel (qui n'est pas donné et qui prend de la place...), et vous pensez bien que les écoles où je vais traîner mes guêtres ne sont pas équipées d'outils de ce type ! Mais rien ne m'empêche d'emporter ce tableau si je passe dans un CP ou un CE1, je sais que les élèves s'y adapteront très bien.

2. C'est aussi parce que je destine ce matériel à un usage scolaire que j'ai fait le choix de l'acheter et non de le fabriquer : en bois, il est bien sûr beaucoup plus solide... J'ai d'ailleurs remarqué, dans un cadre domestique cette fois, qu'un outil en bois était bien plus utilisé par mes enfants que son homologue en papier plastifié... Ah, l'importance du sensoriel... 😉 Ceci-dit, ce matériel est particulièrement facile à fabriquer, et vous trouverez un tutoriel complet et gratuit au Jardin de Kirian.

3. Ce tableau à bandes d'additions fait du profit ! Il permet de mémoriser les tables d'additions, de s'exercer à additionner, mais aussi de comprendre concrètement le principe de commutativité, de mémoriser les doubles (et donc la table de multiplication de 2), et de visualiser les compléments à 10 (et à tout autre nombre).

Bref, voici un matériel riche et je vais essayer, dans le présent article, de faire le tour de ses utilisations possibles.

Les outils complémentaires :

Le mieux est d'utiliser ce tableau avec un petit carnet, qui va permettre de garder une trace écrite de la construction des tables. Ici, il est fait maison. J'en ai soigné l'apparence, je sais que c'est motivant d'avoir un bel outil pour mon Damoiseau : couverture colorée et plastifiée, titre agréable, reliure... Au verso, j'ai collé une table d'addition complète, trouvée sur le Net. Il ne faut pas hésiter à barder l'enfant d'autocorrections lors de du processus de la mémorisation des opérations !


Une table de contrôle est d'ailleurs un autre outil indispensable. Vous pouvez télécharger celle de l'Ecole des amours ICI. Non seulement cette grille permet l'autocorrection, mais elle offre une image mentale de "ce qu'il y a à savoir", et vous verrez que cette image évolue au cours de la séquence (cf. troisième séance).


N.B. J'appelle ici "séances" les unités d'apprentissage qui composent cette séquence. Cela ne veut pas dire qu'une séance s'exécute forcément sur une journée ! Certaines séances sont assez longues (plusieurs semaines), d'autres bien plus courtes (quelques minutes) ...

Première séance : Construction des tables d'addition

La première partie du carnet reprend des tables d'additions dont seuls manquent les résultats. Les miennes viennent du Jardin de Kirian, mais j'ai découpé et recollé ces tables pour en présenter une par page (une notion = une page = net, clair et précis = BIEN 😄).


Commencez par annoncer à l'enfant que vous allez lui présenter un nouveau matériel et disposez-le sur un tapis : le tableau est posé bien à plat en position centrale, les bandes bleues et rouges sont rangées par ordre (croissant ou décroissant) au dessus, au-dessous ou à côté du tableau. Le carnet est mis à disposition, ainsi qu'un crayon à papier, et une gomme éventuellement.


On ouvre le carnet à la première page et on lit ensemble le titre, "Table de 1" et le premier intitulé : "1 + 1 = ".


"Un..." : on place la réglette bleue représentant une unité en haut à gauche du tableau...
"... plus un." : on place la réglette rouge représentant une unité dans le prolongement de la première.


"Égalent deux." : on désigne le résultat, qui s'affiche de lui-même (nombre rouge au dessus).
On écrit la réponse sur le carnet.


Puis, on reprend l'exercice avec "1 + 2 : un  plus deux"...
Ci-dessous, Louiselle désigne le résultat de 1 + 2.
L'addition est si limpide avec ce matériel, si lisible, que je crois bien que même ma Damoiselle de 4 ans a compris le principe ! 😉


Et on réalise ainsi toute la table : on explique à l'enfant qu'une table d'addition s'intéresse à un nombre (ici, 1) auquel elle va ajouter tous les autres (jusqu'à 9) de manière systématique : 2, puis 3, puis 4... Cette vidéo-ci montre bien la manière dont les réglettes s'organise alors sur le tableau : la réglette bleue concernée par la table descend d'un étage à chaque addition, tandis que les réglettes rouges restent en place, et figurent un escalier. N'hésitez pas à verbaliser les résultats (certains enfants ont une mémoire très auditive) et à faire verbaliser par l'enfant : il peut, par exemple, relire l'ensemble de la table quand il l'a menée à bien.

L'enfant vérifie ses résultats à l'aide de la table de contrôle. A vrai dire, l'utilisation du tableau est si aisée qu'elle constitue en elle-même une vérification ! Je n'ai jamais vu Antonin se tromper en manipulant les bandes... Mais il est bon toutefois d'habituer l'enfant à la lecture des tables présentées ainsi, cela sera utile un peu plus tard... Disons que s'il rechigne à vérifier et se sent sûr de lui, on peut écourter cette procédure.

On réalise les huit autres tables sur le même principe... Euh, mais pas tout le même jour, hein !! 😉

Très rapidement, l'enfant constate des régularités : il peut alors faire les opérations de tête s'il le souhaite, soit en exécutant mentalement l'addition, soit en utilisant une "astuce" de calcul mental, par exemple en reprenant le résultat précédent et en ajoutant 1. Ne négligez pas la manipulation sur tableau pour autant : il sert alors de vérification, de contrôle de l'erreur, et permet du même coup de construire une représentation concrète de l'opération qu'on a mené de manière abstraite, "dans sa tête". Quand on a 5 ans, ce va-et-vient est nécessaire !

Deuxième séance : Les compléments

Il s'agit cette fois, de trouver toutes les manière de faire... 6, par exemple. La deuxième partie du carnet, que vous pouvez télécharger ICI, permet de garder trace de cette nouvelle gymnastique. Il s'agit cette fois de réaliser une addition à trous... c'est-à-dire une soustraction, et oui ! 😉



La question devient alors : "Un plus... QUOI, égale Six ?"


Comptez, avec votre index, les cases vides séparant la réglette bleue du résultat à atteindre.


On place ensuite la réglette rouge correspondante au résultat obtenu, et on écrit la somme obtenue sur le carnet : "1 + 5".


"Deux plus... QUOI, égalent Six ?"...


Etc...


... etc.


Bien sûr, le "6 + 0 = 6" fait partie des solutions possible ! Si l'enfant ne le voit pas spontanément, guidez-le par vos questions : "Peut-on représenter 0 avec une de ces bandes ? Pourquoi ?", etc.

Si vous fabriquez vous-même ces pages du carnet, veillez à ce que le nombre de ligne, pour chaque page, correspondent au nombre de solutions possibles. C'est une manière pour l'enfant de contrôler qu'il n' a oublié aucune combinaison...

Dernière remarque : on a tout intérêt à insister (lourdement ?) sur "toutes les manières de faire 10"... Ce sont les fameux "compléments à 10", très utiles à maîtriser pour le calcul mental ! Je place d'ailleurs cette table en première position dans cette deuxième partie du carnet (dont les pages peuvent être traitées dans n'importe quel ordre, selon l'envie de l'enfant). La voici en vidéo.


Les compléments à dix ont quelque chose de particulier, visuellement, avec ce matériel. Sans doute parce qu'on utilise ici toutes les réglettes, contrairement aux autres situations. Par contre, le fait qu'il n'y ait pas de réglette "10" rendra peut-être difficile la construction de l'équivalence : "10 = 0 + 10". Si votre enfant ne parvient pas à la construire, laisser une ligne vide sur cette page du carnet, et revenez-y plus tard... Cela lui apparaîtra en manipulant les autres tables de compléments.

Troisième séance : La commutativité

Il s'agit d'aider l'enfant à construire la commutativité de l'addition. Derrière ce gros mot, se cache une vérité mathématiques toute bête : on peut inverser les deux termes de la somme sans modifier le résultat obtenu. 2 + 6 = 6 + 2. L'addition et la multiplication sont commutatives (ce qui est bien pratique pour mémoriser les tables !), mais la soustraction et la division ne le sont pas... Ah, ah. 

Cela parait bête comme ça, mais la commutativité, ça se construit. (En même temps, avec un nom pareil, ce n'est pas franchement étonnant...). Par exemple, ainsi :

L'enfant va isoler les combinaisons qui n'ont pas de doubles. On travaille une fois de plus sur les pages qui listent les compléments d'un nombre (deuxième partie du carnet), et on demande à l'enfant de construire le miroir de chaque somme, par exemple ainsi : "2 + 6 = 6 + ?"


Si la somme "miroir" existe, on demande à l'enfant de la descendre en bas du tableau...


... et on place l'une des deux entre parenthèses sur le carnet. Je préfère personnellement mettre en parenthèses plutôt que de barrer... car quoiqu'inutile à mémoriser, cette équivalence est néanmoins exacte d'un point de vue mathématique ! Par convention, décidons une fois pour toute qu'entre deux sommes équivalentes, nous écarterons toujours celle dont le premier terme est le plus petit. Pour reprendre notre exemple, nous garderons "6 + 2" et mettrons "2 + 6" entre parenthèses dans la table de 8.

On poursuit l'exercice jusqu'à ce qu'on ait expurgé la page de tous les doubles. Ici, il nous reste cinq équivalents à 8 au lieu de neuf : 4 + 4, 5 + 3, 6 + 2, 7 + 1 et 8 + 0.

Parallèlement, pour matérialiser cette prise de conscience, on cache, sur la table de contrôle, toutes les combinaisons redondantes à l'aide d'une bribe de scotch coloré, par exemple.  De même, on cache toujours les sommes dont le premier terme est plus petit (on cache 1 + 4, et on laisse 4 + 1 apparent) : de cette façon, on obtient un résultat homogène, et il ne reste plus qu'à introduire ensuite une table de contrôle simplifiée (source : L’école des amours) qui donne une nouvelle photographie de ce que l'enfant a à mémoriser. Chouette, il n'en reste plus que la moitié ! 😉


Quatrième séance : Les doubles

La troisième partie du carnet est quasiment vierge : les pages sont quadrillées de façon à guider la petite main. La règle : un nombre (qui ici peut parfois comporter deux chiffres) par case.  Vous pouvez télécharger ces feuillets ICI.


Sur la première page quadrillée, on demande à l'enfant de construire la table des doubles : 1 + 1, 2 + 2, 3 + 3... Cette étape est relativement rapide à exécuter (cette vidéo vous montre comment), mais elle est cruciale : il s'agit de rien de moins que la table de multiplication de 2 ! N'hésitez pas à la refaire plusieurs fois, et à la faire observer et verbaliser : "C'est un escalier qui descend de 2 en 2...", "Lorsqu'on lit les résultats, c'est comme de compter de 2 en 2...", etc.).


Cinquième séance : Entraînement

Additions libres !! Sur les dernières feuilles du carnet, quadrillées, l'enfant réalise des additions à volonté. Pour rendre la chose plus ludique, Antonin travaille avec deux dés (conçu pour les jeux de rôles à l'origine, numérotés de 1 à 10) : il lance les dés, et additionne les nombres obtenus.



Variante 1 : si on n'a pas de dés, et si on veut être sûr de travailler de manière systématique et que l'enfant rencontre toutes les sommes, on lui propose de piocher les additions rédigées sur de petits papiers ("5 + 6", "8 + 9", etc.). Il met de côté celles qu'il a réalisé, et travaille sur plusieurs jours jusqu'à épuisement des billets. Cette vidéo montre cette manière de faire.

Prolongement : on lance un dé numéroté de 1 à 18, et l'enfant trouve deux termes, qui, additionnés, donnent ce nombre.

"x + y = 6" ...

Cette étape peut durer aussi longtemps que persiste l'intérêt de l'enfant. On peut aussi la débuter bien avant dans la séquence si cela correspond à un besoin de l'enfant, et intercaler ces additions libres aux étapes qui précèdent.

Sixième séance : Les quantités s'allongent


Proposez à l'enfant des additions dont un des termes est supérieur à 9 : il devra alors trouver une équivalence additive du dit terme : par exemple, ici, 11 + 6 = 8 + 2 + 6 = 17.

Conclusion :

Hein, qu'on peut en faire, des choses, avec ce tableau ?

Et j'ai gardé le meilleurs pour le fin : figurez-vous qu'il se convertit en moins de deux en tableau à bandes des soustractions... Mais pour cela, il faudra fabriquer un nouveau livret, donc nous en reparlerons ! 😉

12 commentaires:

  1. Intéressant de connaître les fameuses progressions montessori !
    J'ai l'impression que mon fils de 4 ans, fan de maths (quasi même âge que Louiselle ;-) ) est passé par les mêmes étapes, sans matériel. D'abord il a commencé à additionner. Il s'autocorrigeait avec des duplos qu'il empilait. Devant son intérêt, je lui ai montré comment additionner sur ses doigts. La soustraction est venue toute seule par ce biais. Comme il était très en demande, je lui ai acheté des cahiers d'addition et soustraction kumon. Ainsi il a appris le langage mathématique écrit (+, - , =). Il les remplit à toute allure avec régal (c'est très progressif dans la difficulté). Enfin, j'ai acheté des réglettes cuisinaires. Il joue beaucoup avec et il a découvert la commutativité grâce à elles. Il additionne et soustrait avec aisance, pour autant il n'a jamais vu une table d'addition (!!!).
    Au plaisir de lire la suite de la progression :-)

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  2. Super un grand merci pour l'article :)

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  3. Merci pour l'idée. On a tout de suite adopté le concept avec une plaque de Lego.

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  4. Merci pour cette article. Je pense essayé cette méthode avec ma grande de 7 ans et demi qui éprouve quelques difficultés.

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  5. Super présentation ! Ma grane (5 ans et demi) a fait tout ça cette année à l'école montessori qu'elle fréquente et elle a bien aimé. Ce qu'elle a préféré néanmoins c'est l'addition avec "la table des points".Qu'ils apprennent après avoir vu la grande addition et l'addition avec les timbres. Son truc préféré "il ne faut jamais garder 10" et donc "le change" avec la banque. Du coup hier quand je lui ai montré l'addition posée en colonne sa première question a été au sujet de ce fameux change. Et là devant son aisance et même plaisir avec les retenues on comprend tout l'intérêt des nombreuses mises en scène et manipulation. Et le génie de Montessori. (je précise qu'elle a aussi travaillé avec le petit boulier à composer les nombres ce qui prépare bien l'étape "addition en colonne" Bonne continuation !!

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  6. Belle présentation!!! J'ajouterai une petite chose suite à certains commentaires : cette présentation peut se faire tôt (et doit se faire tôt 4_5 ans maximum), car certains enfants peuvent trouver fastidieux toutes les étapes et du coup n'accroche pas du tout avec cette présentation !!
    Je suis curieuse de voir comment tu utilises ton tableau pour les soustractions ;-) (les couleurs ne sont pas dans le même ordre et la barre centrale est placée après le 9 sur celle des soustractions normalement!!)

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  7. Merci beaucoup pour ce partage! J'ai acheté pour ma classe de cp/ce1 ce matériel cette année, mais je ne m'en suis servie que pour les tables 1 à 1 avec l'aide du matériel du Jardin de Kirian, je vais me pencher sur ce que tu proposes pour la rentrée!

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  8. Elsa tu me fais rire ^^ je me souviens aussi d'un article où tu disais " j'essaie de me convaincre que c'est pour mon travail mais ..." :D

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  9. Ta progression n'est pas vraiment celle qui est adoptée en Montesori, mais elle est intéressante ;-)
    2 précisions: pour la découverte de la commutativité, la présentation montessorienne classique me semble vraiment intéressante. Je te laisse la découvrir là: http://journalmontessori.blogspot.fr/2009/12/memorisation-de-laddition-etape-3.html

    Pour la recherche des différentes manières de fabriquer une même quantité (ton étape 2, dans la progression officielle, cela vient juste après avoir découvert le principe de commutativité et avant la présentation du tableau de contrôle coupé en 2 ), il me semble vraiment très utile pour la suite des études mathématiques de enfants de présenter cette recherche sous la forme 6= ?+? plutôt que l'inverse. Ainsi l'enfant voit très tôt que l'on peut inverser la place des termes dans une égalité sans en changer la teneur et c'est fondamental ensuite pour aborder les équations...

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    1. En effet je confirme aussi que ce n'est pas la vraie présentation montessorienne et je trouve comme MH plus intéressant de faire chercher l'enfant sur le 6=?+?. Cela dit Elsa ton approche est très intéressante aussi!!!

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  10. Très intéressant. Merci pour cet article. Je pense investir bientôt aussi. Vous me confirmez que je ne suis pas obligée d'acheter le tableau à bandes des soustractions? que celui ci peut se convertir? Merci pour votre réponse.

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    1. Je vous renvoie à cet article : https://bout-de-chou-en-eveil.fr/activite-montessori-memoriser-tables-addition/ C'est le tout dernier point de l'article ! :-)

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