Hem, je me rends compte que je parle de centre de gravité du cercle alors qu'il s'agit d'un disque... Alors pour le jeu du Moyen-âge, je n'ai pu lui trouver aucun nom malgré des recherches assidues et nos ludothécaires ne le connaissent pas sous un autre nom que celui-ci. On le retrouve à peu près aux deux tiers de cette page : http://jeuxdautrefois.free.fr/ Je ne sais pas si l'on voit bien sur cette photo, mais le plateau est divisé en 6 cercles concentriques numérotés de 1 à 6. On y joue donc avec un dé qui va nous indiquer sur quelle zone il faudra placer une pièce - il est bien plus difficile d'en placer une en zone 6 sans faire tomber l'ensemble, on peut placer la pièce tout autour du plateau. Sur la page indiquée plus haut, est indiquée une variante où le dé n'indique non plus la zone mais le nombre de pièces à placer. J'en trouve une autre version ici : http://www.jouets-ecoles.com/jeux-de-societe/1003-jeu-en-bois-dingo-disc-jeu-de-strategie-et-de-dexterite-3760032260250.html Il existe également ce jeu : http://www.ludolegars.fr/04102008bamboleo/ Le plateau suspendu s'approche mieux de la notion de barycentre par rapport à celui posé sur une boule de liège grâce à l'absence de frictions. Le jeu que vous avez trouvé est magnifique et il nous plairait fort d'y jouer je pense. Par contre, vu la grande diversité de densités des objets posés, mon mentor mathématiques ^^ insisterait pour que l'on parle de centre de gravité plutôt que d'isobarycentre ! Ce qui est une notion plus physique mais tout aussi intéressante !
La vidéo sur le boulier m'a beaucoup intéressée. Je ne suis pas certaine de saisir l'impérative nécessité de passer par l'inversion du sens de la division, Lou en tous les cas procédait en isolant le premier nombre puis en retranchant le nombre de perles nécessaire. On vient d'essayer de voir comment faire pour les nombres relatifs car sur de petites quantités Lou fait de tête (s'il fait 2° aujourd'hui et 3 de moins demain, il fera -1) mais bloque quand les nombres à manipuler sont plus grands. Et bien, nous ne voyons rien qui soit très explicite, si quelqu'un a une idée ? Lou propose pour faire 2-3 de prendre deux boules puis de rajouter le nombre de boules nécessaires pour arriver à 3 mais je soupçonne que c'est parce que le résultat était déjà calculable de tête. Sinon, le boulier sert aussi chez nous de support à l'approche de la division et de la multiplication car l'on peut grouper les boules en paquets, 3 paquets de 5 donneront 15, 17 peut se diviser en 3 paquets de 5 et un paquet de 2...
Merci pour votre travail de synthèse et de mise en forme !
Maïa, je me suis permis d'insérer vos précisions sur le jeu du Moyen-Age dans le corps de l'article. Une fois de plus, n'hésitez pas à me dire si quelque chose ne va pas dans la reformulation ! :-)
Alors pour les nombres relatifs moi je partirais du principe de la droite graduée. Une droite graduée ou meme pour un enfant des cases comme sur un plateau de jeu. Le pion est toujours placé sur 0 ( ou sur la case départ pour rester sur un parallèle plateau de jeu) Aujourdhui il fait deux degrés je vais sur la case 2 et demain il ferra trois degrés de moins (je recule de 3) et j arrive sur la case -1. On peut aussi utilser le principe de l ascenseur. Il est au rez de chaussez monte de 2 et descend de 3. Il arrive donc au moins 1. Je ne sais pas si je suis claire... Mais peut être ai je mal compris tu voulais faire des nombres relatifs avec le boulier ? Sinon ( niveau 5eme) avec des petits nombres et les methodes d ascenseur, plateau de jeux ou autre tu fais trouver a l enfant la methode générale. Assez intuitif, ca fonctionne bien avec les eleves. On étudie les trois cas : additon de deux nombres positifs, deux nombres négatifs puis un de chaque,etc...il doit y avoir moyen de faire ca sur le boulier ( j inventemais ca existe surement !) ligne bleue on ecrit les nombres positifs, on peut donc additionner autant de positif qu on veut. Ligne rouge on ecrit les négatifs sans signe ( on peut additionner autant de négatifs que l on veut il suffit de mettre un signe moins au resultat puisqu il est rouge. Pour additionner un positif et un négatif on ecrit le positif en bleu, le négatif en rouge. On se pose la question qui gagne ? ( qui a la plus grande distance a zéro ) dans le cas de (+2 ) + (-3) c est -3 qui gagne on va donc travailler sur ligne rouge du moins 3 et enlever deux. Il reste donc une boule, on est sur la ligne bleue donc résultat -1. C est dans l esprit de ce que fait ton fils. Autre exemple (+5) +(-2) = +3 car ligne bleue 5 boules ligne rouge 2 boules. Ligne bleue gagne donc resultat positif j enleve 2 boules sur la ligne bleue resultat +3. Bon maintenant que j ai raconté mes betises je vais aller voir la video pour apprendre a me servir d un boulier car si ca se trouve j ai raconté n importe quoi :))) mais je me suis bien amusée ;)
Je viens d aller voir la vidéo ( plutot sympa en effet) c est malin j ai envie d acheter un boulier maintenant ! Du coup je me rends compte qu il ne faut pas juste "jouer" avec les lignes donc mon idée pour les relatifs est affreuse et mélangerait tout !!! Ou alors il faudrait un boulier ( ou truc du genre) dédié aux relatifs...
Merci Aurélie ! Alors en fait maintenant que j'y réfléchis, j'aurais dû attendre pour ce commentaire qu'Elsa ait présenté notre façon d'aborder les nombres relatifs de manière d'abord ludique et sensorielle. Comme je réfléchissais au boulier ce matin, je me suis tout à coup demandée si on pouvait utiliser le boulier comme étape intermédiaire vers l'abstraction, vraiment comme assistant de calcul. Mais effectivement l'idée de deux bouliers est excellente, ou alors de séparer le boulier en deux. Je fais des tests cet après-midi et vous fait un retour si ça marche ou au contraire pas !
Je veux bien a réponse au test, ceci dit... Mais je vous préviens, je suis tellement à fond dans les centres de gravité que je ne suis bonne à rien d'autre. Ah, si : bosser mon boulier. Mais seulement les 4 opérations élémentaires, ah, oh, bon, fait pô pousser, mmm. :-)
Ah, et la réponse au test ! Ca marche très bien, en utilisant un morceau de tissu noué après les 4 premières dizaines (c'est arbitraire, mais comme les dizaines sur notre boulier sont de la même couleur deux à deux, j'ai trouvé cela plus cohérent que de couper après la 5e dizaine) et en positionnant les dizaines négatives à droite. Hmmm, je vais peut-être plutôt faire des photos que j'enverrai à Elsa, je ne sais pas si mon explication est très claire !
MERCI pour cette réflexion! Je vous en soumets une autre, une critique de Stella Baruk (mathématicienne et pédagogue que j'estime beaucoup) sur l'approche montessorienne (attention!, c'est via sa lecture du livre de C. Alvarez), qui date de quelques jours. Je partage en partie son avis, et suis depuis en plein questionnement sur la progression montessori proposée à mes élèves de 5 et 6 ans, en particulier sur l'importance du SENS à donner aux opérations mathématiques... Et vous, qu'en pensez-vous?
......... " Et qu’en est-il – de ce qu’on appelle sans doute avec ringardise - « la construction du nombre » ? Au fait. Nombres ? Ou quantités ? Aucune réflexion, aucun éclairage épistémologique sur leurs natures respectives. Au contraire (p.210) : "Nous présentions très tôt aux enfants – dès qu’ils savaient compter jusqu’à 10, - une idée de ce que pouvait représenter la quantité « cent » ou la quantité « mille » avec du matériel qui présentait le code de notre système décimal : l’unité, la dizaine, la centaine et le millier. Nous attirions leur attention sur le fait qu’une dizaine compte dix unités, et qu’une centaine compte dix dizaines (ou 100 unités) un millier compte dix centaines (ou 1000 unités). Les enfants avaient ainsi dès 4 ans une représentation physique concrète – qu’ils pouvaient dénombrer – de ces quantités. […]
Les enfants ne nous demandent-ils pas souvent : « C’est combien 100 ? C’est grand comment 1000 ? » Il fallait voir le visage de certains lorsque je leur disais en leur présentant d’abord la centaine, puis le millier : « Tiens, regarde : ça, c’est cent ; et ça, c’est mille » [9]."
C’est grand comment mille ? Eh bien ça dépend ! Si c’est mille éléphants, ce n’est pas pareil que mille fourmis ; ni mille pastèques que mille framboises ; ni mille secondes que mille heures, ou jours, ou siècles… Si un enfant de quatre ans, consterné d’avoir laissé tomber une tasse dit « ça s’est cassé en mille morceaux », sans que ce soit une « intuition innée » de « mille », il s’agit bien d’une intuition de quelque chose, qui est du « beaucoup ». Cela suffit amplement à quatre ans, et pourra se décliner petit à petit en « choses » en découvrant le « chaos quantitatif » du monde et la variété des ordres de grandeur. J’avoue ne pas comprendre que puisse être verrouillée dès cet âge leur imagination par des ça c’est cent et ça c’est mille renvoyant à une plaque et un cube ! Lesquels ne sont pas « cent » et « mille » mais cent perles et mille perles !
Et surtout cent n’est pas 100 et mille n’est pas 1000 [10]. Or le lendemain de la découverte sont « montrés » aux enfants les « symboles correspondant aux différentes quantités ». Et aussi « que si le symbole 1000 représente un millier, le symbole 3000 représente trois milliers ». Et voilà l’intelligence merveilleuse des enfants – dont « l’attention » a été « attirée » sur le fait « qu’une centaine compte dix dizaines (ou 100 unités) un millier compte dix centaines (ou 1000 unités) » enfermée dans plaques et cubes, noyée dans un océan de zéros. S’ajoutant à l’amalgame de deux écritures -, cent et 100, mille et 1000 - il y a donc celui de deux natures d’« objets ». Celle de l’idéalité « nombre », et celle, ici, de la « quantité » de « perles ».
"Il y a donc le matériel. Ceux qui connaissent le travail que je fais depuis longtemps avec des professeur(es) des écoles, pourraient dire qu’étant donnée l’opinion globale que j’ai du matériel je ne suis pas vraiment la personne le mieux placée pour en juger. Car je crois en effet que la proposition sur laquelle se fonde son utilisation, est profondément erronée ; malgré des décennies de démentis dans les faits, certains continuent de penser que pour « faire » des mathématiques, il faudrait « commencer » par le concret, et ensuite « passer » à l’abstrait. Or c’est dès Échec et maths, dans le chapitre précisément intitulé « Faire », que j’écrivais [11] : « l’enfant livré au matériel est un enfant abandonné » [12]. Intellectuellement, s’entend, parce que physiquement au contraire, et en particulier dans la méthode Montessori, il est très accompagné pour apprendre à observer des protocoles précis de manipulation. Il devrait être possible d’admirer l’œuvre et la personne de Maria Montessori, - c’est mon cas -, sa volonté de faire en sorte que s’épanouissent les potentialités d’un enfant dans tous les domaines, que convergent tous les sens dans son appréhension et sa compréhension du monde, – le multisensoriel, sûrement très fécond – et néanmoins prendre des distances avec le très lourd appareillage supposé nécessaire à la compréhension des « mathématiques ».
« Je n’ai connaissance, dit C.A.(p.200), d’aucun autre matériel didactique qui offre une telle précision dans sa progression mathématique, un tel génie dans la matérialisation des quantités, et qui soit d’une telle simplicité et d’une telle efficacité. C’est pourquoi je ne peux qu’inviter les enseignants de maternelle et d’élémentaire à s’y intéresser. » Il est même ajouté qu’il réconciliera « l’adulte qui n’entretient pas de bonnes relations avec les mathématiques » avec cette discipline.
Le matériel montessorien est tellement foisonnant qu’il supposerait d’être décrit et étudié à part. Et C.A. a raison. Il y a un réel génie dans sa conception et sa diversité. Il couvre tout ce que l’on souhaite que sachent faire les enfants, c’est-à-dire dénombrer des « quantités » – réalisées en barres ou en perles – leur faire correspondre des « symboles » et donner le résultat des « quatre opérations ». Allez voir, sur Internet un des nombreux exemples [13], de mise en œuvre de ce matériel. Vous y verrez en couleurs ce que les photos en noir et blanc ne peuvent restituer. Pour « les quantités de un à dix » dix barres aux longueurs multiples de 10cm, chaque « tranche de dix » alternativement colorées en rouge et bleu figurant les quantités un, deux, etc ; ainsi l’enfant, passant par exemple son doigt sur une barre de cinquante centimètres, pourra compter jusqu’à cinq de un en un en changeant de couleur. Assomption des barres, le « dix ». En effet, « la quantité « dix » est représentée sous la forme d’une barre d’un mètre alors que la quantité « un » est représentée par une courte barre de dix centimètres, d’une seule unité. L’enfant trépigne de joie devant la différence gigantesque qu’il perçoit visuellement, sans même avoir besoin d’explication. »
Un mètre pour « faire » dix ! Associé peu après au chiffre 10 ! Sidération de cette erreur pédagogique fondamentale, qui consiste à vouloir donner le sentiment d’un nombre cardinal à partir d’une « quantité continue », sous prétexte que l’enfant tient ainsi dans sa main « un tout uni » et que donc, par exemple, « quatre, c’est quatre unités ensemble ». Comment dire alors que le lapin a quatre pattes ? Faut-il les lui attacher ? L’archaïsme de cette conception fondée sur l’obligation de compter, sur l’implicite ici occulté de ce qu’une longueur peut représenter un nombre arbitraire d’unités, sur le gâchis d’un « 10 » asséné comme tel – ça c’est dix – me fait espérer que l’enfant qui là a trois ans et demi ou un peu plus – oubliera vite l’incroyable mètre/10.
"Ce sera sans doute le cas puisque ensuite on passe aux perles. « Dix » sera une jolie mais grêle baguettes de dix perles. Des couleurs vont départager les baguettes de cinq ou six ou huit, et si on ne se souvient pas de la correspondance nombre/couleur, on compte et recompte.
Pour l’ « addition », on assiste à une véritable dramaturgie, décrite par C.A. page 212. Je reproduis ici son équivalent vu sur You Tube in vivo [14]. Deux adorables bambins vont chercher les « quantités » qui correspondent à des cartons qu’on leur a mis sur un plateau. Ils ont appris à associer des écritures à trois zéros à des cubes, - qui est la limite hélas du représentable - celles à deux zéros à des plaques, celles à un zéro à des barres et celles sans zéros à des perles toutes seules ; par exemple pour la séquence que j’ai vu, le carton 2000, fait poser 2 cubes sur le plateau, celui de 300, 3 plaques, celui de 40, 4 barres et celui de 4, 4 perles toutes seules. Le petit camarade fait de même, et en « positionnant correctement » les cartons, les disposant sur un tapis, on se trouve à devoir effectuer la manipulation qui donnera le résultat de 2 344 plus 3 243. Pour cela, il suffit alors de « verser » tous les cubes, plaques, barres, et perles mis ensemble sur un autre plateau, de compter les cubes, d’aller chercher « le bon symbole », compter les plaques et faire de même, etc. En repositionnant les cartons qu’on aura trouvé, on aura le « résultat de l’addition », qui est énoncé, aidé par la maîtresse, 5 milliers 5 centaines, 8 dizaines, 7 unités. C’est joyeux, c’est heureux, les enfants sont contents, ils font de nombreux voyages et allers retours entre les cartons et les perles, le tout dans une sympathique atmosphère de brouhaha produit par des enfants vaquant à leurs occupations. Ceux-ci ont l’impression que la maîtresse qui est avec eux durant tout le processus est contente aussi. Ils sauront refaire tout ceci tout seuls.
Le sentiment étrange que l’on a au bout de cette séquence est celui d’une contradiction de taille dans l’idéal montessorien : avec un matériel aussi parfait, les « sens », la mémoire, le rituel sont à ce point sollicités que l’intelligence, si louée par ailleurs, n’y a pratiquement plus de place. Les enfants sauront faire. Oui mais quoi ? Et surtout pourquoi ? Quelle est la situation qui aura rendu nécessaire de verser sur un même plateau le contenu de deux autres, sinon de devoir mécaniquement associer pour la troisième fois les « bons symboles » aux jolis cubes, plaques, ou barrettes de perles ainsi obtenus ? Le concept d’addition supposé présent parce qu’ « expliqué » comme volonté de « compter ensemble » n’a aucune nécessité à être. Il n’a résolu aucun problème, il est là pour savoir faire . On voit les enfants, une fois la chose faite, s’en désintéresser pour passer à autre chose. Qu’en restera-t-il quand seront abordés l’opération et les calculs dans leur nécessité à être ? Toute cette activité trop tôt proposée apporte-t-elle des avantages suffisants pour contrebalancer le fait de découvertes, d’étonnements, de curiosité qui seront alors éventés ? Quel service aura été rendu à la compréhension, à la concentration nécessaires au « papier/crayon » à venir ? "
Un grand merci, Flo Dub, pour cette critique que je découvre, et que je vais ruminer... Encore une richesse à digérer, cette semaine je menace de devenir obèse de la didactique des maths !! :-D
Ce qui est formidable, en pédagogie, c'est qu'on n'a jamais raison (enfin, je parle pour les modestes PE dont je fais partie...). Et je trouve ça tellement rassurant, de ne pas pouvoir se dire que tout a été déjà compris, plié, et qu'il n'y a pas UNE méthode univoque à suivre ! :-D
Merci au passage à toutes les lectrices pour leurs messages hautement éclairés : ouhouh, le débat vole très haut grâce à vous, c'est fin, ça réveille, et le tout dans un dialogue d'une bienveillance très tangible : alors : MERCI !!
Bon, et puis il faut que je relise Stella Baruk, je ne l'ai pas rouvert depuis mon séjour à l'IUFM... (Honte). :-(
Il y a cette progression qui reprend la théorie de Stella Baruk : http://warmaths.fr/maths_stella_baruk.pdf Dommage que ce soit des fiches, mais bon nombres de notions sont en fait à travailler dans la vie quotidienne. J'aime beaucoup. :-)
Je trouve cette critique vraiment très interessante. elle donne un regard alternatif bienvenu! Oui vraiment l'essentiel est certainement de ne pas figer les choses dans un dogme ou un autre mais bien de puiser ce qui nous semble interessant chez l'un ou l'autre en fonction de l'enfant qu'on a devant soi!
J'ai aussi de très lointains souvenirs des travaux de Stella Baruk... Tout simplement parce qu'elle ne s'est jamais penchée sur la maternelle, elle reconnaît elle même sa méconnaissance des enfants de moins de 6 ans pour ce qui la concerne: l'apprentissage des mathématiques. Elle s'est principalement intéressée aux 6/7 ans et a mené une expérimentation (avec des PE) en CP et CE1 sur laquelle s'appuie son livre "comptes pour petits et grands". Je viens de l'emprunter à la bibliothèque! A suivre...pour un éclairage supplémentaire sur les maths, vaste sujet! Grand merci à toi aussi pour toutes ces pistes et réflexions qui nous font avancer! Florence
Oh, merci, je découvre cette mathématicienne que je ne connaissais pas du tout. Alors, pour préciser, je ne suis ni pédagogue (je suis psychomotricienne donc j'ai quand même une certaine affinité pour la pédagogie mais ce n'est pas ma spécialité) ni mathématicienne. Mon frère, qui a renoué avec ses premières amours informatiques et est actuellement programmeur, a un solide bagage en mathématiques, physique et informatique et un certain nombre de ses ex-collègues normaliens s'intéressent fort à la pédagogie - mais plutôt niveau lycée ! L'un d'entre eux avait même mis en place des procédés très intéressants lors de sa première année post-agreg dont des contrôles avec sujet aléatoire (plus facile à faire en math qu'en histoire bien sûr, une résolution de polynôme fait toujours appel aux mêmes méthodes même si on change les valeurs des inconnues) en ouvrant la porte à ce que les élèves discutent entre eux s'ils le souhaitaient. Bon, bref, de ma place, je trouve que ce que j'ai lu hier sur et de Stella Baruk me fait penser que sa méthode doit être très adaptée aux enfants présentant des troubles du spectre autistique car elle évite l'écueil que l'enfant reste bloqué sur une perception univoque de mille (le cube de perles en ce cas) mais accède à une catégorisation plus large. J'imagine d'ailleurs, à la lumière de certains des commentaires, que le matériel sensible et concret, s'il a l'avantage d'ancrer l'enfant dans le réel, peut aussi bloquer certains dans leur accès à l'abstraction, bien qu'il puisse également y avoir une question de maturité et de développement. Néanmoins, par rapport à ce que je lis de et sur Stella Baruk (d'après mes recherches, il n'y a malheureusement que son encyclopédie à notre bibliothèque municipale) si les concepts mathématiques sont par essence des pures abstractions, certains, et c'est notamment le cas de numération, s'originent et modélisent du concret, et cela me paraît pertinent de partir de concret pour la numération, notamment dans le cas du jeune enfant qui construit son expérience du monde par ses sens !
Je me rends compte que j'ai oublié dans mon petit texte à propos des barycentres de parler d'une façon de les expérimenter qui me semble assez pertinente et par ailleurs artistiques, c'est la fabrication de mobiles, en essayant d'obtenir que les barres qui supportent les différents éléments soient horizontales.
La différence importante également qui me semble exister entre son approche et l'approche montessorienne est son aspect extrêmement verbal, du moins d'après les fiches pointées par Elsa, ce qui correspond certainement à un des types d'intelligence pointé par Elsa dans ses expérimentations sur la calligraphie https://coquelipop.blogspot.fr/2015/07/calligraphie-les-cent-langages.html
Bon cet extrait de Stella Baruk aura été l'occasion d'un brainstorming avec mes deux fraternelles têtes pensantes mathématiques sur : - la pertinence ou non de l'utilisation de segments gradués comme approche du nombre (avec la remarque que si l'on additionne un segment de 1 à un autre segment de 1 en le plaçant de manière à former un triangle rectangle, la résultante n'est pas deux mais racine de deux par exemple), - la question de l'abstraction, dans la lignée de Bourbaki https://fr.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki et des maths modernes https://lejournal.cnrs.fr/articles/bourbaki-et-la-fondation-des-maths-modernes - la question de l'estimation. Mon frère avait emmené Lou au... Palais de la Découverte - bien sûr - et ça avait été l'occasion d'une discussion sur le nombre d'habitants à Paris et du coup de l'idée du million. A propos de l'estimation, j'ai découvert votre activité avec les graines de courge et je la trouve fantastique !
Je cite un extrait d'une interview dans Libération de Stella Baruk : Vous dites que trop souvent l’erreur est dans l’énoncé du problème.
La cause des erreurs, oui. Prenez l’exemple de Bianca, en CE2 quand elle a dû résoudre le problème suivant : un cinéma peut accueillir 376 personnes, la caissière a vendu 239 tickets. Combien de fauteuils sont restés inoccupés ? Il faudrait soustraire 239 tickets de 376 personnes pour trouver des fauteuils ? Et que pensez-vous de la «réalité» de cet énoncé, en CE1 ? Un camion transportant 92 bidons en a perdu 79… Vous avez vu souvent un camion perdre des bidons sur la route ? Et si oui, pouvoir en semer jusqu’à 79 ?
Mais je trouve que la vie quotidienne nous apporte largement de quoi faire des petits problèmes et des opérations qui ont un sens réel pour l'enfant et pour lesquels iel est motivé.e puisqu'il s'agit de sa propre démarche. Par exemple, nous avons récemment fait des meringues végétales pour lesquelles le poids du sucre était le double du poids du jus de pois chiche, c'est un problème, qui demande d'effectuer une opération mathématique abstraite mais qui s'ancre aussi dans le concret de la vie de l'enfant.
Sinon, cela m'a aussi permis de réfléchir à ce qui me gêne dans le matériel montessorien en mathématiques et je crois que je peux le synthétiser ainsi : il suppose qu'il y ait 1) une seule bonne réponse 2) qui n'est accessible que d'une seule façon, 3) celle de la démonstration et non d'une exploration libre.
Il est possible que ma deuxième tête pensante (très théorique et passionnée de logique) vienne commenter ici même !
Je suis une des tête pensante sus-mentionnée, j'ai pris du temps à répondre car je voulais formuler ma pensée de la façon la plus claire -ce qui n'est pas toujours chose aisée- et je trouve par ailleurs la question de comment instruire les mathématiques à la montessori très interessante! Pour moi les maths comme on les instruit classiquement (hors montessori) ont deux problèmes principaux:
- Le premier, très embettant, est le manque de visualisation et d'intuition: Un exemple que je trouve frappant est la definition de la dérivé en première: "la limite de la pente de la tangeante en un point"... Oui autant dire que c'est imbitable :p Alors qu'il suffirait de donner comme intuition qu'il s'agit de "combien la courbe monte", et on comprends tout de suite pourquoi f(x)=x a comme derivé 1. La question de l'intuition et de la visualisation est cruciale non pas parce que sinon les outils qu'on maitrise sont parfaitement abscons, mais aussi et simplement que les gens qui ont crée ces outils les ont bien crées de quelques part. Bien sûr, on peut considerer n'importe quel objet, mais si on décide de se pencher sur un particulièrement, de lui donner des notations et ainsi de suites, c'est parce que soit il soulève des questions interessantes (comprendre: non trivial), soit parce qu'il apporte des réponses interessantes à ces dites questions. Dans le cas de la dérivé, on pourrait le formuler par "comment prévoir l'évolution d'une fonction" ou "comment maximiser une fonction"
-Le deuxième point est plus pernicieux à l'entiereté du système scolaire: On nous apprend un ensemble de connaissances qu'on nous sème un peu au quatres vents sans réelle considération. On nous parle de dérivés, d'ébulition, ou du moyen age, mais ce n'est au final qu'un ensemble parfaitement arbitraire (et c'est une notion importante sur laquelle je reviendrais) de faits/"verités" Comme Maïa l'a si bien-expliqué, et comme Frenet se base dessus, l'interêt de l'élève est un moteur crucial dans l'éducation, et le fait de se baser non pas sur le fait de lui apporter des faits randoms mais de chercher plutôt à répondre à ses questions est un point important, car ça donne un sens tout autre à ce que l'élève apprend. Pour filer l'exemple, dans le cas de l'ébulition il est tout à fait possible de partir d'une question du type "Pourquoi l'eau boue" pour remonter à la chaleur et faire des tests. De plus, on nous apprends ces connaissances alors même que l'on ne sait comment s'en servir, en cela, ce qu'il faudrait en mon sens dans l'éducation scholaire ne sont pas tant ces connaissances mais une reflexion des differents outils qu'il faut enseigner: J'y reviendrais, mais en somme, bien plus de raisonnements et de savoir-faire que de connaissances concrètes.
Donc, si j'aborde ces deux points, c'est que dans votre post, vous soulevez des points très interessant, que je rejoins tout à fait. Ce que je perçois de tout ce que j'ai pu regarder par ailleurs sur Montessori est que c'est une école qui cherche tout à fait à répondre au premier point, à introduire des intuitions derrière les objets, la manipulation physique en fait des ressorts pédagogiques très interessants, qui permette de saisir des concepts parfois compliqués. Néanmoins, comme Stella Baruk le signale, le second reste peu traité, le materiel est certes plus intuitif pensant et agréable, mais il est une question jamais vraiment résolu, pour le formuler ainsi "Pourquoi on fait ça?"/"Pourquoi ces objets permettant de montrer ceci ou cela?". En somme, il manque un degrès de recul, il y a beaucoup de reflexions sur le materiel mais il manque un échelon plus méta de réflexions sur le materiel, non plus au sens de comment le concevoir mais pourquoi le concevoir. En soi, que ce soit la définition de la dérivé ou un objet en bois pour expliquer le théorème de pythagore, on reste dans quelque choose de très arbitraire, le materiel sort de nulle part, il n'y a pas de recherches actives de la part de l'enfant sur le materiel, que ce soit pour l'ameliorer, le construire, ou autre.
Ce n'est pas pour qualifier Montessori d'innaproprié au contraire, il y a des points que j'en apprécie tout à fait. Si je fais ce constat, c'est au contraire pour reprendre ce que j'en apprécie en Montessori pour voir comment l'améliorer et en faire une éducation consciencieuse. Or, je pense qu'il est tout à fait possible de le faire en utilisant les activités au début pour introduire, mais par la suite, construire avec l'enfant les activités, concevoir ensemble comment se renseigner, et ainsi de suites Peut-être commencer par des activités lambdas, puis ammener progressivement à des activités qui consistent à en faire une "sans le dire"?
Un point que je n'avais pas réalisé avant de vous lire est la confusion entre le nombre dix et la representation 10 qui ne sont en effet pas la même chose. Certes on pourrait parler du fait qu'il faut simplifier les concepts pour les instruire, mais je trouve ça important de garder ces notions en tête, si ce n'est que pour les en differencier en deux activités qui pourront introduire de tels différences. Je crois que ce genre de differenciation est important dans la conception d'activité car il nous permet une plus grande cohérence de conception. Or, c'est une cohérence qui peut se relever très importante, justemment pour éviter cet entrelacement de connaissances diffus. Cela me mène égallement à la notion d'abstraction et de formalisme. Ça me semble très pertinent de partir d'exemple avant de géneraliser, déjà parce que cela permet de répondre à une question, ensuite parce que si l'on regarde dans le monde mathématiques, les progrès ont toujours été fait ainsi: On est d'abord parti des naturels avant de géneraliser aux groupes, puis aux catégories.
Donc voila, pour résumer, je dirais que tout d'abord, il faut se concentrer sur l'interêt de l'enfant, et lui apporter un environnement riche pour que celui-ci puisse prendre ce qui lui en correspond. Ensuite, il faut vraiment ne pas chercher à transmettre tel ou tel connaissance (à moins que ce soit sollicité par l'enfant, bien sûr), mais plutôt des outils comme je le mentionnais. Et en reregardant l'éducation nationale, j'y trouve tellement de choses sur lesquels on ne maitrise pas les outils: -En maths, par exemple, on ne nous apprends jamais ce qu'est un raisonnement mathématique ou les bases de la logique (je me souviens de mon prof de maths en terminal qui demandait pourquoi "A => vrai, donc A est vrai" était un raisonnement éronné, et les gens de la classe n'avait pas pu répondre). -En physique, je me souviens de ma prof qui nous avait demandé de calculer le poids de la tour Eiffel. J'étais tout/e fièr/e de mon résultat avec 10 chiffres après la virgule, et n'arrivait pas à comprendre la prof qui nous disait "Bon 1627 / 12, ça fait à peu près 2000 / 10, soit 200": Je, ni mes cammarades, n'avais jamais appris la notion d'approximation -En histoire, on nous demandait très peu de verifier et croiser nos sources, égallement -Philo, j'en parle même pas Donc pour moi, il faut beaucoup plus se tourner vers ces outils qui à terme permetteront de retrouver ces connaissances.
Voilà, pardon si c'était confus, je ne sais pas combien mon avis a apporté. J'ai découvert récemment la notion de sémantique de jeu pour la logique (qui consiste à introduire la logique comme un jeu/un débat en gros), et essaie de voir comment cela pourrait être adaptable en une activité ou un jeu. Égallement coté programmation, j'essaye de regarder comment on pourrait introduire ça de façon assez simple.
Merci en tout cas pour toutes ces réflexions. À bientôt.
Juste pour signaler que le reproche "Montessori n'amène pas les enfants à se demander pourquoi fait-on cela" relève juste d'une méconnaissance. Actuellement, les gens connaissent de mieux en mieux la proposition pour le 3-6 ans qui est purement sensorielle et donc imprègne l'enfant sans expliquer car cela correspond à la période de l'esprit absorbant. Mais cela change totalement à partir de 6 ans: l'enfant entre alors dans l'âge de l'esprit "comprenant" et il a absolument besoin qu'on lui donne l'explication de ce qu'il apprend, il a besoin de chercher en groupe, d'expérimenter avant de trouver les règles. La manière d'enseigner change alors, mais malheureusement, beaucoup de personnes pensent qu'on peut enseigner en Montessori à un enfant d'âge primaire comme on le fait en 3-6 ans, et c'est une erreur...
Ma fille a été scolarisée en école Montessori puis en école internationale où les maths se font presque exclusivement par la manipulation. J'y ai beaucoup cru puis au moment de lui faire reintégrer un CP français, je trouve qu'il y a un truc qui cloche. Elle a beau avoir manipulé cubes, perles, réglettes à gogo, jeté des dès etc. je trouve ses capacités de calcul assez ras des pâquerettes. Ma fille quitte son école en décembre, on décide de partir en roadtrip quelques temps et je reprends tout ça en main. Je soupçonne ma fille d'être bloquée par un excès de manipulation et un manque d'abstraction sévère. Et de passage à l'ėcrit. Je banis donc les perles, les cubes etc. et ressors un fichier Brissiaud de mon dernier CP (mon chouchou à moi!). Un mois et demi plus tard, ça a décollé, ça commence à utiliser des strategies de calcul, c'est réellement entré en mathématiques. Je crois qu'on se fourvoie à voir Montessori comme LA méthode qui marche pour tout et tous. Comme toutes les méthodes elle convient particulièrement bien à certaines intelligences mais pas à toutes. Et si la manipulation n'était pas adaptée à tous?
Je trouve aussi que Montessori ne se suffit pas à elle même , surtout en calcul mental et résolution de problème... pas assez de recherche et de stratégies à mon gout. Par contre la manipulation pour comprendre les techniques opérations et la géométrie me semble vraiment très intéressante. Ce n'est que mon avis...
Coucou Elsa si tu es à fond sur les centres de gravité voici une petite activité pour toi. Peutêtre l'as tu déja en tête mais bon : Tu fais découper à Antonin un disque dans du carton.Donne lui un compas. Demande lui de trouver le centre de gravité/ point d'équilibre et de mettre le disque en équilibre sur la pointe de compas. Assez intuitivement il va se positionner au centre. ( d'autant plus facile si le centre est placé, un peu moins s'il a utilisé une forme à dessin pour tracer le cercle. Cette activité peut être répétée avec le carré ou d'autres formes à dessin simples.(Pas l'oeuf ;) ) Ensuite fais la même chose avec le triangle équilatéral, pas facile non plus. Soit il trouve tout seul le point d'équilibre, soit il a du mal. Dans ce cas tu dégaines un deuxième triangle équilatéral sur lequel tu as déja placé précisement le centre gravité. Ensuite vous pouvez faire une petite recherche/devinette ou se trouve exactement ce point d'équilibre dans le triangle équilatéral, comment maman a trouvé ce centre précisement( au point d'intersection de deux médianes/ c'est à dire au point d'intersection des segments qui joignent un sommet et le milieu du côté opposé pour celles qui ne se souviennent plus de leurs cours de maths de collège.) Je ne me rends pas compte de la faisabilité par un enfant de primaire. Mais je suppose qu'un enfant un peu curieux à qui on fait tracer tous les segments qu'il trouve remarquables, finira pour trouver. Si ca marche bien, rien n’empêche d'étendre aux triangles quelconques... Voila la petite activité du jour , je ne sais pas si j'ai été claire...
Bonjour,
RépondreSupprimerHem, je me rends compte que je parle de centre de gravité du cercle alors qu'il s'agit d'un disque...
Alors pour le jeu du Moyen-âge, je n'ai pu lui trouver aucun nom malgré des recherches assidues et nos ludothécaires ne le connaissent pas sous un autre nom que celui-ci. On le retrouve à peu près aux deux tiers de cette page : http://jeuxdautrefois.free.fr/
Je ne sais pas si l'on voit bien sur cette photo, mais le plateau est divisé en 6 cercles concentriques numérotés de 1 à 6. On y joue donc avec un dé qui va nous indiquer sur quelle zone il faudra placer une pièce - il est bien plus difficile d'en placer une en zone 6 sans faire tomber l'ensemble, on peut placer la pièce tout autour du plateau. Sur la page indiquée plus haut, est indiquée une variante où le dé n'indique non plus la zone mais le nombre de pièces à placer.
J'en trouve une autre version ici : http://www.jouets-ecoles.com/jeux-de-societe/1003-jeu-en-bois-dingo-disc-jeu-de-strategie-et-de-dexterite-3760032260250.html
Il existe également ce jeu : http://www.ludolegars.fr/04102008bamboleo/
Le plateau suspendu s'approche mieux de la notion de barycentre par rapport à celui posé sur une boule de liège grâce à l'absence de frictions.
Le jeu que vous avez trouvé est magnifique et il nous plairait fort d'y jouer je pense. Par contre, vu la grande diversité de densités des objets posés, mon mentor mathématiques ^^ insisterait pour que l'on parle de centre de gravité plutôt que d'isobarycentre ! Ce qui est une notion plus physique mais tout aussi intéressante !
La vidéo sur le boulier m'a beaucoup intéressée. Je ne suis pas certaine de saisir l'impérative nécessité de passer par l'inversion du sens de la division, Lou en tous les cas procédait en isolant le premier nombre puis en retranchant le nombre de perles nécessaire. On vient d'essayer de voir comment faire pour les nombres relatifs car sur de petites quantités Lou fait de tête (s'il fait 2° aujourd'hui et 3 de moins demain, il fera -1) mais bloque quand les nombres à manipuler sont plus grands. Et bien, nous ne voyons rien qui soit très explicite, si quelqu'un a une idée ? Lou propose pour faire 2-3 de prendre deux boules puis de rajouter le nombre de boules nécessaires pour arriver à 3 mais je soupçonne que c'est parce que le résultat était déjà calculable de tête. Sinon, le boulier sert aussi chez nous de support à l'approche de la division et de la multiplication car l'on peut grouper les boules en paquets, 3 paquets de 5 donneront 15, 17 peut se diviser en 3 paquets de 5 et un paquet de 2...
Merci pour votre travail de synthèse et de mise en forme !
Ouah, on peut donc se procurer ce jeu sous le nom de "Dingo disc" ou "bamdoleo"... Je retiens pour un prochain anniversaire... <3
SupprimerMaïa, je me suis permis d'insérer vos précisions sur le jeu du Moyen-Age dans le corps de l'article. Une fois de plus, n'hésitez pas à me dire si quelque chose ne va pas dans la reformulation ! :-)
SupprimerAlors pour les nombres relatifs moi je partirais du principe de la droite graduée. Une droite graduée ou meme pour un enfant des cases comme sur un plateau de jeu. Le pion est toujours placé sur 0 ( ou sur la case départ pour rester sur un parallèle plateau de jeu) Aujourdhui il fait deux degrés je vais sur la case 2 et demain il ferra trois degrés de moins (je recule de 3) et j arrive sur la case -1. On peut aussi utilser le principe de l ascenseur. Il est au rez de chaussez monte de 2 et descend de 3. Il arrive donc au moins 1.
RépondreSupprimerJe ne sais pas si je suis claire... Mais peut être ai je mal compris tu voulais faire des nombres relatifs avec le boulier ?
Sinon ( niveau 5eme) avec des petits nombres et les methodes d ascenseur, plateau de jeux ou autre tu fais trouver a l enfant la methode générale. Assez intuitif, ca fonctionne bien avec les eleves. On étudie les trois cas : additon de deux nombres positifs, deux nombres négatifs puis un de chaque,etc...il doit y avoir moyen de faire ca sur le boulier ( j inventemais ca existe surement !) ligne bleue on ecrit les nombres positifs, on peut donc additionner autant de positif qu on veut. Ligne rouge on ecrit les négatifs sans signe ( on peut additionner autant de négatifs que l on veut il suffit de mettre un signe moins au resultat puisqu il est rouge. Pour additionner un positif et un négatif on ecrit le positif en bleu, le négatif en rouge. On se pose la question qui gagne ? ( qui a la plus grande distance a zéro ) dans le cas de (+2 ) + (-3) c est -3 qui gagne on va donc travailler sur ligne rouge du moins 3 et enlever deux. Il reste donc une boule, on est sur la ligne bleue donc résultat -1. C est dans l esprit de ce que fait ton fils.
Autre exemple (+5) +(-2) = +3 car ligne bleue 5 boules ligne rouge 2 boules. Ligne bleue gagne donc resultat positif j enleve 2 boules sur la ligne bleue resultat +3.
Bon maintenant que j ai raconté mes betises je vais aller voir la video pour apprendre a me servir d un boulier car si ca se trouve j ai raconté n importe quoi :))) mais je me suis bien amusée ;)
Je viens d aller voir la vidéo ( plutot sympa en effet) c est malin j ai envie d acheter un boulier maintenant ! Du coup je me rends compte qu il ne faut pas juste "jouer" avec les lignes donc mon idée pour les relatifs est affreuse et mélangerait tout !!! Ou alors il faudrait un boulier ( ou truc du genre) dédié aux relatifs...
SupprimerMerci Aurélie !
RépondreSupprimerAlors en fait maintenant que j'y réfléchis, j'aurais dû attendre pour ce commentaire qu'Elsa ait présenté notre façon d'aborder les nombres relatifs de manière d'abord ludique et sensorielle. Comme je réfléchissais au boulier ce matin, je me suis tout à coup demandée si on pouvait utiliser le boulier comme étape intermédiaire vers l'abstraction, vraiment comme assistant de calcul. Mais effectivement l'idée de deux bouliers est excellente, ou alors de séparer le boulier en deux. Je fais des tests cet après-midi et vous fait un retour si ça marche ou au contraire pas !
Oui, la question des relatifs tels qu'ils sont abordés chez maïa fera l'objet du 3e opus ! :-)
SupprimerJe veux bien a réponse au test, ceci dit... Mais je vous préviens, je suis tellement à fond dans les centres de gravité que je ne suis bonne à rien d'autre. Ah, si : bosser mon boulier. Mais seulement les 4 opérations élémentaires, ah, oh, bon, fait pô pousser, mmm.
Supprimer:-)
Ah, et la réponse au test ! Ca marche très bien, en utilisant un morceau de tissu noué après les 4 premières dizaines (c'est arbitraire, mais comme les dizaines sur notre boulier sont de la même couleur deux à deux, j'ai trouvé cela plus cohérent que de couper après la 5e dizaine) et en positionnant les dizaines négatives à droite. Hmmm, je vais peut-être plutôt faire des photos que j'enverrai à Elsa, je ne sais pas si mon explication est très claire !
SupprimerMERCI pour cette réflexion! Je vous en soumets une autre, une critique de Stella Baruk (mathématicienne et pédagogue que j'estime beaucoup) sur l'approche montessorienne (attention!, c'est via sa lecture du livre de C. Alvarez), qui date de quelques jours. Je partage en partie son avis, et suis depuis en plein questionnement sur la progression montessori proposée à mes élèves de 5 et 6 ans, en particulier sur l'importance du SENS à donner aux opérations mathématiques... Et vous, qu'en pensez-vous?
RépondreSupprimer.........
" Et qu’en est-il – de ce qu’on appelle sans doute avec ringardise - « la construction du nombre » ?
Au fait. Nombres ? Ou quantités ? Aucune réflexion, aucun éclairage épistémologique sur leurs natures respectives. Au contraire (p.210) :
"Nous présentions très tôt aux enfants – dès qu’ils savaient compter jusqu’à 10, - une idée de ce que pouvait représenter la quantité « cent » ou la quantité « mille » avec du matériel qui présentait le code de notre système décimal : l’unité, la dizaine, la centaine et le millier.
Nous attirions leur attention sur le fait qu’une dizaine compte dix unités, et qu’une centaine compte dix dizaines (ou 100 unités) un millier compte dix centaines (ou 1000 unités). Les enfants avaient ainsi dès 4 ans une représentation physique concrète – qu’ils pouvaient dénombrer – de ces quantités. […]
Les enfants ne nous demandent-ils pas souvent : « C’est combien 100 ? C’est grand comment 1000 ? » Il fallait voir le visage de certains lorsque je leur disais en leur présentant d’abord la centaine, puis le millier : « Tiens, regarde : ça, c’est cent ; et ça, c’est mille » [9]."
C’est grand comment mille ? Eh bien ça dépend ! Si c’est mille éléphants, ce n’est pas pareil que mille fourmis ; ni mille pastèques que mille framboises ; ni mille secondes que mille heures, ou jours, ou siècles… Si un enfant de quatre ans, consterné d’avoir laissé tomber une tasse dit « ça s’est cassé en mille morceaux », sans que ce soit une « intuition innée » de « mille », il s’agit bien d’une intuition de quelque chose, qui est du « beaucoup ». Cela suffit amplement à quatre ans, et pourra se décliner petit à petit en « choses » en découvrant le « chaos quantitatif » du monde et la variété des ordres de grandeur. J’avoue ne pas comprendre que puisse être verrouillée dès cet âge leur imagination par des ça c’est cent et ça c’est mille renvoyant à une plaque et un cube ! Lesquels ne sont pas « cent » et « mille » mais cent perles et mille perles !
Et surtout cent n’est pas 100 et mille n’est pas 1000 [10]. Or le lendemain de la découverte sont « montrés » aux enfants les « symboles correspondant aux différentes quantités ». Et aussi « que si le symbole 1000 représente un millier, le symbole 3000 représente trois milliers ». Et voilà l’intelligence merveilleuse des enfants – dont « l’attention » a été « attirée » sur le fait « qu’une centaine compte dix dizaines (ou 100 unités) un millier compte dix centaines (ou 1000 unités) » enfermée dans plaques et cubes, noyée dans un océan de zéros. S’ajoutant à l’amalgame de deux écritures -, cent et 100, mille et 1000 - il y a donc celui de deux natures d’« objets ». Celle de l’idéalité « nombre », et celle, ici, de la « quantité » de « perles ».
suite:
RépondreSupprimer"Il y a donc le matériel. Ceux qui connaissent le travail que je fais depuis longtemps avec des professeur(es) des écoles, pourraient dire qu’étant donnée l’opinion globale que j’ai du matériel je ne suis pas vraiment la personne le mieux placée pour en juger. Car je crois en effet que la proposition sur laquelle se fonde son utilisation, est profondément erronée ; malgré des décennies de démentis dans les faits, certains continuent de penser que pour « faire » des mathématiques, il faudrait « commencer » par le concret, et ensuite « passer » à l’abstrait. Or c’est dès Échec et maths, dans le chapitre précisément intitulé « Faire », que j’écrivais [11] : « l’enfant livré au matériel est un enfant abandonné » [12]. Intellectuellement, s’entend, parce que physiquement au contraire, et en particulier dans la méthode Montessori, il est très accompagné pour apprendre à observer des protocoles précis de manipulation.
Il devrait être possible d’admirer l’œuvre et la personne de Maria Montessori, - c’est mon cas -, sa volonté de faire en sorte que s’épanouissent les potentialités d’un enfant dans tous les domaines, que convergent tous les sens dans son appréhension et sa compréhension du monde, – le multisensoriel, sûrement très fécond – et néanmoins prendre des distances avec le très lourd appareillage supposé nécessaire à la compréhension des « mathématiques ».
« Je n’ai connaissance, dit C.A.(p.200), d’aucun autre matériel didactique qui offre une telle précision dans sa progression mathématique, un tel génie dans la matérialisation des quantités, et qui soit d’une telle simplicité et d’une telle efficacité. C’est pourquoi je ne peux qu’inviter les enseignants de maternelle et d’élémentaire à s’y intéresser. » Il est même ajouté qu’il réconciliera « l’adulte qui n’entretient pas de bonnes relations avec les mathématiques » avec cette discipline.
Le matériel montessorien est tellement foisonnant qu’il supposerait d’être décrit et étudié à part. Et C.A. a raison. Il y a un réel génie dans sa conception et sa diversité. Il couvre tout ce que l’on souhaite que sachent faire les enfants, c’est-à-dire dénombrer des « quantités » – réalisées en barres ou en perles – leur faire correspondre des « symboles » et donner le résultat des « quatre opérations ». Allez voir, sur Internet un des nombreux exemples [13], de mise en œuvre de ce matériel. Vous y verrez en couleurs ce que les photos en noir et blanc ne peuvent restituer. Pour « les quantités de un à dix » dix barres aux longueurs multiples de 10cm, chaque « tranche de dix » alternativement colorées en rouge et bleu figurant les quantités un, deux, etc ; ainsi l’enfant, passant par exemple son doigt sur une barre de cinquante centimètres, pourra compter jusqu’à cinq de un en un en changeant de couleur. Assomption des barres, le « dix ». En effet, « la quantité « dix » est représentée sous la forme d’une barre d’un mètre alors que la quantité « un » est représentée par une courte barre de dix centimètres, d’une seule unité. L’enfant trépigne de joie devant la différence gigantesque qu’il perçoit visuellement, sans même avoir besoin d’explication. »
Un mètre pour « faire » dix ! Associé peu après au chiffre 10 ! Sidération de cette erreur pédagogique fondamentale, qui consiste à vouloir donner le sentiment d’un nombre cardinal à partir d’une « quantité continue », sous prétexte que l’enfant tient ainsi dans sa main « un tout uni » et que donc, par exemple, « quatre, c’est quatre unités ensemble ». Comment dire alors que le lapin a quatre pattes ? Faut-il les lui attacher ? L’archaïsme de cette conception fondée sur l’obligation de compter, sur l’implicite ici occulté de ce qu’une longueur peut représenter un nombre arbitraire d’unités, sur le gâchis d’un « 10 » asséné comme tel – ça c’est dix – me fait espérer que l’enfant qui là a trois ans et demi ou un peu plus – oubliera vite l’incroyable mètre/10.
suite et fin (sinon c'est beaucoup trop long!)
RépondreSupprimer"Ce sera sans doute le cas puisque ensuite on passe aux perles. « Dix » sera une jolie mais grêle baguettes de dix perles. Des couleurs vont départager les baguettes de cinq ou six ou huit, et si on ne se souvient pas de la correspondance nombre/couleur, on compte et recompte.
Pour l’ « addition », on assiste à une véritable dramaturgie, décrite par C.A. page 212. Je reproduis ici son équivalent vu sur You Tube in vivo [14]. Deux adorables bambins vont chercher les « quantités » qui correspondent à des cartons qu’on leur a mis sur un plateau. Ils ont appris à associer des écritures à trois zéros à des cubes, - qui est la limite hélas du représentable - celles à deux zéros à des plaques, celles à un zéro à des barres et celles sans zéros à des perles toutes seules ; par exemple pour la séquence que j’ai vu, le carton 2000, fait poser 2 cubes sur le plateau, celui de 300, 3 plaques, celui de 40, 4 barres et celui de 4, 4 perles toutes seules. Le petit camarade fait de même, et en « positionnant correctement » les cartons, les disposant sur un tapis, on se trouve à devoir effectuer la manipulation qui donnera le résultat de 2 344 plus 3 243. Pour cela, il suffit alors de « verser » tous les cubes, plaques, barres, et perles mis ensemble sur un autre plateau, de compter les cubes, d’aller chercher « le bon symbole », compter les plaques et faire de même, etc. En repositionnant les cartons qu’on aura trouvé, on aura le « résultat de l’addition », qui est énoncé, aidé par la maîtresse, 5 milliers 5 centaines, 8 dizaines, 7 unités. C’est joyeux, c’est heureux, les enfants sont contents, ils font de nombreux voyages et allers retours entre les cartons et les perles, le tout dans une sympathique atmosphère de brouhaha produit par des enfants vaquant à leurs occupations. Ceux-ci ont l’impression que la maîtresse qui est avec eux durant tout le processus est contente aussi. Ils sauront refaire tout ceci tout seuls.
Le sentiment étrange que l’on a au bout de cette séquence est celui d’une contradiction de taille dans l’idéal montessorien : avec un matériel aussi parfait, les « sens », la mémoire, le rituel sont à ce point sollicités que l’intelligence, si louée par ailleurs, n’y a pratiquement plus de place. Les enfants sauront faire. Oui mais quoi ? Et surtout pourquoi ? Quelle est la situation qui aura rendu nécessaire de verser sur un même plateau le contenu de deux autres, sinon de devoir mécaniquement associer pour la troisième fois les « bons symboles » aux jolis cubes, plaques, ou barrettes de perles ainsi obtenus ? Le concept d’addition supposé présent parce qu’ « expliqué » comme volonté de « compter ensemble » n’a aucune nécessité à être. Il n’a résolu aucun problème, il est là pour savoir faire . On voit les enfants, une fois la chose faite, s’en désintéresser pour passer à autre chose. Qu’en restera-t-il quand seront abordés l’opération et les calculs dans leur nécessité à être ? Toute cette activité trop tôt proposée apporte-t-elle des avantages suffisants pour contrebalancer le fait de découvertes, d’étonnements, de curiosité qui seront alors éventés ? Quel service aura été rendu à la compréhension, à la concentration nécessaires au « papier/crayon » à venir ? "
Un grand merci, Flo Dub, pour cette critique que je découvre, et que je vais ruminer... Encore une richesse à digérer, cette semaine je menace de devenir obèse de la didactique des maths !! :-D
SupprimerCe qui est formidable, en pédagogie, c'est qu'on n'a jamais raison (enfin, je parle pour les modestes PE dont je fais partie...). Et je trouve ça tellement rassurant, de ne pas pouvoir se dire que tout a été déjà compris, plié, et qu'il n'y a pas UNE méthode univoque à suivre ! :-D
Merci au passage à toutes les lectrices pour leurs messages hautement éclairés : ouhouh, le débat vole très haut grâce à vous, c'est fin, ça réveille, et le tout dans un dialogue d'une bienveillance très tangible : alors : MERCI !!
Bon, et puis il faut que je relise Stella Baruk, je ne l'ai pas rouvert depuis mon séjour à l'IUFM... (Honte). :-(
Il y a cette progression qui reprend la théorie de Stella Baruk : http://warmaths.fr/maths_stella_baruk.pdf
SupprimerDommage que ce soit des fiches, mais bon nombres de notions sont en fait à travailler dans la vie quotidienne. J'aime beaucoup. :-)
Je trouve cette critique vraiment très interessante. elle donne un regard alternatif bienvenu!
SupprimerOui vraiment l'essentiel est certainement de ne pas figer les choses dans un dogme ou un autre mais bien de puiser ce qui nous semble interessant chez l'un ou l'autre en fonction de l'enfant qu'on a devant soi!
J'ai aussi de très lointains souvenirs des travaux de Stella Baruk... Tout simplement parce qu'elle ne s'est jamais penchée sur la maternelle, elle reconnaît elle même sa méconnaissance des enfants de moins de 6 ans pour ce qui la concerne: l'apprentissage des mathématiques. Elle s'est principalement intéressée aux 6/7 ans et a mené une expérimentation (avec des PE) en CP et CE1 sur laquelle s'appuie son livre "comptes pour petits et grands". Je viens de l'emprunter à la bibliothèque! A suivre...pour un éclairage supplémentaire sur les maths, vaste sujet!
SupprimerGrand merci à toi aussi pour toutes ces pistes et réflexions qui nous font avancer! Florence
Oh, merci, je découvre cette mathématicienne que je ne connaissais pas du tout. Alors, pour préciser, je ne suis ni pédagogue (je suis psychomotricienne donc j'ai quand même une certaine affinité pour la pédagogie mais ce n'est pas ma spécialité) ni mathématicienne. Mon frère, qui a renoué avec ses premières amours informatiques et est actuellement programmeur, a un solide bagage en mathématiques, physique et informatique et un certain nombre de ses ex-collègues normaliens s'intéressent fort à la pédagogie - mais plutôt niveau lycée ! L'un d'entre eux avait même mis en place des procédés très intéressants lors de sa première année post-agreg dont des contrôles avec sujet aléatoire (plus facile à faire en math qu'en histoire bien sûr, une résolution de polynôme fait toujours appel aux mêmes méthodes même si on change les valeurs des inconnues) en ouvrant la porte à ce que les élèves discutent entre eux s'ils le souhaitaient. Bon, bref, de ma place, je trouve que ce que j'ai lu hier sur et de Stella Baruk me fait penser que sa méthode doit être très adaptée aux enfants présentant des troubles du spectre autistique car elle évite l'écueil que l'enfant reste bloqué sur une perception univoque de mille (le cube de perles en ce cas) mais accède à une catégorisation plus large. J'imagine d'ailleurs, à la lumière de certains des commentaires, que le matériel sensible et concret, s'il a l'avantage d'ancrer l'enfant dans le réel, peut aussi bloquer certains dans leur accès à l'abstraction, bien qu'il puisse également y avoir une question de maturité et de développement. Néanmoins, par rapport à ce que je lis de et sur Stella Baruk (d'après mes recherches, il n'y a malheureusement que son encyclopédie à notre bibliothèque municipale) si les concepts mathématiques sont par essence des pures abstractions, certains, et c'est notamment le cas de numération, s'originent et modélisent du concret, et cela me paraît pertinent de partir de concret pour la numération, notamment dans le cas du jeune enfant qui construit son expérience du monde par ses sens !
SupprimerJe me rends compte que j'ai oublié dans mon petit texte à propos des barycentres de parler d'une façon de les expérimenter qui me semble assez pertinente et par ailleurs artistiques, c'est la fabrication de mobiles, en essayant d'obtenir que les barres qui supportent les différents éléments soient horizontales.
La différence importante également qui me semble exister entre son approche et l'approche montessorienne est son aspect extrêmement verbal, du moins d'après les fiches pointées par Elsa, ce qui correspond certainement à un des types d'intelligence pointé par Elsa dans ses expérimentations sur la calligraphie https://coquelipop.blogspot.fr/2015/07/calligraphie-les-cent-langages.html
SupprimerBon cet extrait de Stella Baruk aura été l'occasion d'un brainstorming avec mes deux fraternelles têtes pensantes mathématiques sur :
Supprimer- la pertinence ou non de l'utilisation de segments gradués comme approche du nombre (avec la remarque que si l'on additionne un segment de 1 à un autre segment de 1 en le plaçant de manière à former un triangle rectangle, la résultante n'est pas deux mais racine de deux par exemple),
- la question de l'abstraction, dans la lignée de Bourbaki https://fr.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki et des maths modernes https://lejournal.cnrs.fr/articles/bourbaki-et-la-fondation-des-maths-modernes
- la question de l'estimation. Mon frère avait emmené Lou au... Palais de la Découverte - bien sûr - et ça avait été l'occasion d'une discussion sur le nombre d'habitants à Paris et du coup de l'idée du million. A propos de l'estimation, j'ai découvert votre activité avec les graines de courge et je la trouve fantastique !
Je cite un extrait d'une interview dans Libération de Stella Baruk :
Vous dites que trop souvent l’erreur est dans l’énoncé du problème.
La cause des erreurs, oui. Prenez l’exemple de Bianca, en CE2 quand elle a dû résoudre le problème suivant : un cinéma peut accueillir 376 personnes, la caissière a vendu 239 tickets. Combien de fauteuils sont restés inoccupés ? Il faudrait soustraire 239 tickets de 376 personnes pour trouver des fauteuils ? Et que pensez-vous de la «réalité» de cet énoncé, en CE1 ? Un camion transportant 92 bidons en a perdu 79… Vous avez vu souvent un camion perdre des bidons sur la route ? Et si oui, pouvoir en semer jusqu’à 79 ?
Mais je trouve que la vie quotidienne nous apporte largement de quoi faire des petits problèmes et des opérations qui ont un sens réel pour l'enfant et pour lesquels iel est motivé.e puisqu'il s'agit de sa propre démarche. Par exemple, nous avons récemment fait des meringues végétales pour lesquelles le poids du sucre était le double du poids du jus de pois chiche, c'est un problème, qui demande d'effectuer une opération mathématique abstraite mais qui s'ancre aussi dans le concret de la vie de l'enfant.
Sinon, cela m'a aussi permis de réfléchir à ce qui me gêne dans le matériel montessorien en mathématiques et je crois que je peux le synthétiser ainsi : il suppose qu'il y ait 1) une seule bonne réponse 2) qui n'est accessible que d'une seule façon, 3) celle de la démonstration et non d'une exploration libre.
Il est possible que ma deuxième tête pensante (très théorique et passionnée de logique) vienne commenter ici même !
Ouah, ce serait un honneur ! :-)
SupprimerMerci pour ces nouvelles réflexions, Maïa, qui mériteraient encore un article à elles seules...
Si vous souhaitez rédiger la suite de vos aventures mathématiques, vous pouvez être assurée qu'elle rencontrarait un accueil passionné par ici !! :-)
Bonjour bonjour!
SupprimerJe suis une des tête pensante sus-mentionnée, j'ai pris du temps à répondre car je voulais formuler ma pensée de la façon la plus claire -ce qui n'est pas toujours chose aisée- et je trouve par ailleurs la question de comment instruire les mathématiques à la montessori très interessante!
Pour moi les maths comme on les instruit classiquement (hors montessori) ont deux problèmes principaux:
- Le premier, très embettant, est le manque de visualisation et d'intuition: Un exemple que je trouve frappant est la definition de la dérivé en première: "la limite de la pente de la tangeante en un point"... Oui autant dire que c'est imbitable :p
Alors qu'il suffirait de donner comme intuition qu'il s'agit de "combien la courbe monte", et on comprends tout de suite pourquoi f(x)=x a comme derivé 1.
La question de l'intuition et de la visualisation est cruciale non pas parce que sinon les outils qu'on maitrise sont parfaitement abscons, mais aussi et simplement que les gens qui ont crée ces outils les ont bien crées de quelques part. Bien sûr, on peut considerer n'importe quel objet, mais si on décide de se pencher sur un particulièrement, de lui donner des notations et ainsi de suites, c'est parce que soit il soulève des questions interessantes (comprendre: non trivial), soit parce qu'il apporte des réponses interessantes à ces dites questions.
Dans le cas de la dérivé, on pourrait le formuler par "comment prévoir l'évolution d'une fonction" ou "comment maximiser une fonction"
-Le deuxième point est plus pernicieux à l'entiereté du système scolaire: On nous apprend un ensemble de connaissances qu'on nous sème un peu au quatres vents sans réelle considération. On nous parle de dérivés, d'ébulition, ou du moyen age, mais ce n'est au final qu'un ensemble parfaitement arbitraire (et c'est une notion importante sur laquelle je reviendrais) de faits/"verités"
Comme Maïa l'a si bien-expliqué, et comme Frenet se base dessus, l'interêt de l'élève est un moteur crucial dans l'éducation, et le fait de se baser non pas sur le fait de lui apporter des faits randoms mais de chercher plutôt à répondre à ses questions est un point important, car ça donne un sens tout autre à ce que l'élève apprend.
Pour filer l'exemple, dans le cas de l'ébulition il est tout à fait possible de partir d'une question du type "Pourquoi l'eau boue" pour remonter à la chaleur et faire des tests.
De plus, on nous apprends ces connaissances alors même que l'on ne sait comment s'en servir, en cela, ce qu'il faudrait en mon sens dans l'éducation scholaire ne sont pas tant ces connaissances mais une reflexion des differents outils qu'il faut enseigner: J'y reviendrais, mais en somme, bien plus de raisonnements et de savoir-faire que de connaissances concrètes.
(cont)
Donc, si j'aborde ces deux points, c'est que dans votre post, vous soulevez des points très interessant, que je rejoins tout à fait.
SupprimerCe que je perçois de tout ce que j'ai pu regarder par ailleurs sur Montessori est que c'est une école qui cherche tout à fait à répondre au premier point, à introduire des intuitions derrière les objets, la manipulation physique en fait des ressorts pédagogiques très interessants, qui permette de saisir des concepts parfois compliqués.
Néanmoins, comme Stella Baruk le signale, le second reste peu traité, le materiel est certes plus intuitif pensant et agréable, mais il est une question jamais vraiment résolu, pour le formuler ainsi "Pourquoi on fait ça?"/"Pourquoi ces objets permettant de montrer ceci ou cela?".
En somme, il manque un degrès de recul, il y a beaucoup de reflexions sur le materiel mais il manque un échelon plus méta de réflexions sur le materiel, non plus au sens de comment le concevoir mais pourquoi le concevoir.
En soi, que ce soit la définition de la dérivé ou un objet en bois pour expliquer le théorème de pythagore, on reste dans quelque choose de très arbitraire, le materiel sort de nulle part, il n'y a pas de recherches actives de la part de l'enfant sur le materiel, que ce soit pour l'ameliorer, le construire, ou autre.
Ce n'est pas pour qualifier Montessori d'innaproprié au contraire, il y a des points que j'en apprécie tout à fait. Si je fais ce constat, c'est au contraire pour reprendre ce que j'en apprécie en Montessori pour voir comment l'améliorer et en faire une éducation consciencieuse. Or, je pense qu'il est tout à fait possible de le faire en utilisant les activités au début pour introduire, mais par la suite, construire avec l'enfant les activités, concevoir ensemble comment se renseigner, et ainsi de suites
Peut-être commencer par des activités lambdas, puis ammener progressivement à des activités qui consistent à en faire une "sans le dire"?
Un point que je n'avais pas réalisé avant de vous lire est la confusion entre le nombre dix et la representation 10 qui ne sont en effet pas la même chose.
Certes on pourrait parler du fait qu'il faut simplifier les concepts pour les instruire, mais je trouve ça important de garder ces notions en tête, si ce n'est que pour les en differencier en deux activités qui pourront introduire de tels différences.
Je crois que ce genre de differenciation est important dans la conception d'activité car il nous permet une plus grande cohérence de conception. Or, c'est une cohérence qui peut se relever très importante, justemment pour éviter cet entrelacement de connaissances diffus.
Cela me mène égallement à la notion d'abstraction et de formalisme. Ça me semble très pertinent de partir d'exemple avant de géneraliser, déjà parce que cela permet de répondre à une question, ensuite parce que si l'on regarde dans le monde mathématiques, les progrès ont toujours été fait ainsi: On est d'abord parti des naturels avant de géneraliser aux groupes, puis aux catégories.
(cont)
Donc voila, pour résumer, je dirais que tout d'abord, il faut se concentrer sur l'interêt de l'enfant, et lui apporter un environnement riche pour que celui-ci puisse prendre ce qui lui en correspond. Ensuite, il faut vraiment ne pas chercher à transmettre tel ou tel connaissance (à moins que ce soit sollicité par l'enfant, bien sûr), mais plutôt des outils comme je le mentionnais.
SupprimerEt en reregardant l'éducation nationale, j'y trouve tellement de choses sur lesquels on ne maitrise pas les outils:
-En maths, par exemple, on ne nous apprends jamais ce qu'est un raisonnement mathématique ou les bases de la logique (je me souviens de mon prof de maths en terminal qui demandait pourquoi "A => vrai, donc A est vrai" était un raisonnement éronné, et les gens de la classe n'avait pas pu répondre).
-En physique, je me souviens de ma prof qui nous avait demandé de calculer le poids de la tour Eiffel. J'étais tout/e fièr/e de mon résultat avec 10 chiffres après la virgule, et n'arrivait pas à comprendre la prof qui nous disait "Bon 1627 / 12, ça fait à peu près 2000 / 10, soit 200": Je, ni mes cammarades, n'avais jamais appris la notion d'approximation
-En histoire, on nous demandait très peu de verifier et croiser nos sources, égallement
-Philo, j'en parle même pas
Donc pour moi, il faut beaucoup plus se tourner vers ces outils qui à terme permetteront de retrouver ces connaissances.
Voilà, pardon si c'était confus, je ne sais pas combien mon avis a apporté.
J'ai découvert récemment la notion de sémantique de jeu pour la logique (qui consiste à introduire la logique comme un jeu/un débat en gros), et essaie de voir comment cela pourrait être adaptable en une activité ou un jeu.
Égallement coté programmation, j'essaye de regarder comment on pourrait introduire ça de façon assez simple.
Merci en tout cas pour toutes ces réflexions.
À bientôt.
Juste pour signaler que le reproche "Montessori n'amène pas les enfants à se demander pourquoi fait-on cela" relève juste d'une méconnaissance. Actuellement, les gens connaissent de mieux en mieux la proposition pour le 3-6 ans qui est purement sensorielle et donc imprègne l'enfant sans expliquer car cela correspond à la période de l'esprit absorbant.
SupprimerMais cela change totalement à partir de 6 ans: l'enfant entre alors dans l'âge de l'esprit "comprenant" et il a absolument besoin qu'on lui donne l'explication de ce qu'il apprend, il a besoin de chercher en groupe, d'expérimenter avant de trouver les règles. La manière d'enseigner change alors, mais malheureusement, beaucoup de personnes pensent qu'on peut enseigner en Montessori à un enfant d'âge primaire comme on le fait en 3-6 ans, et c'est une erreur...
Ma fille a été scolarisée en école Montessori puis en école internationale où les maths se font presque exclusivement par la manipulation. J'y ai beaucoup cru puis au moment de lui faire reintégrer un CP français, je trouve qu'il y a un truc qui cloche. Elle a beau avoir manipulé cubes, perles, réglettes à gogo, jeté des dès etc. je trouve ses capacités de calcul assez ras des pâquerettes. Ma fille quitte son école en décembre, on décide de partir en roadtrip quelques temps et je reprends tout ça en main. Je soupçonne ma fille d'être bloquée par un excès de manipulation et un manque d'abstraction sévère. Et de passage à l'ėcrit. Je banis donc les perles, les cubes etc. et ressors un fichier Brissiaud de mon dernier CP (mon chouchou à moi!). Un mois et demi plus tard, ça a décollé, ça commence à utiliser des strategies de calcul, c'est réellement entré en mathématiques. Je crois qu'on se fourvoie à voir Montessori comme LA méthode qui marche pour tout et tous. Comme toutes les méthodes elle convient particulièrement bien à certaines intelligences mais pas à toutes. Et si la manipulation n'était pas adaptée à tous?
RépondreSupprimerJe trouve aussi que Montessori ne se suffit pas à elle même , surtout en calcul mental et résolution de problème... pas assez de recherche et de stratégies à mon gout. Par contre la manipulation pour comprendre les techniques opérations et la géométrie me semble vraiment très intéressante.
RépondreSupprimerCe n'est que mon avis...
Coucou Elsa si tu es à fond sur les centres de gravité voici une petite activité pour toi. Peutêtre l'as tu déja en tête mais bon :
RépondreSupprimerTu fais découper à Antonin un disque dans du carton.Donne lui un compas. Demande lui de trouver le centre de gravité/ point d'équilibre et de mettre le disque en équilibre sur la pointe de compas. Assez intuitivement il va se positionner au centre. ( d'autant plus facile si le centre est placé, un peu moins s'il a utilisé une forme à dessin pour tracer le cercle.
Cette activité peut être répétée avec le carré ou d'autres formes à dessin simples.(Pas l'oeuf ;) )
Ensuite fais la même chose avec le triangle équilatéral, pas facile non plus. Soit il trouve tout seul le point d'équilibre, soit il a du mal. Dans ce cas tu dégaines un deuxième triangle équilatéral sur lequel tu as déja placé précisement le centre gravité.
Ensuite vous pouvez faire une petite recherche/devinette ou se trouve exactement ce point d'équilibre dans le triangle équilatéral, comment maman a trouvé ce centre précisement( au point d'intersection de deux médianes/ c'est à dire au point d'intersection des segments qui joignent un sommet et le milieu du côté opposé pour celles qui ne se souviennent plus de leurs cours de maths de collège.)
Je ne me rends pas compte de la faisabilité par un enfant de primaire. Mais je suppose qu'un enfant un peu curieux à qui on fait tracer tous les segments qu'il trouve remarquables, finira pour trouver.
Si ca marche bien, rien n’empêche d'étendre aux triangles quelconques...
Voila la petite activité du jour , je ne sais pas si j'ai été claire...
J'adore !! Et je garde sous le coude !! Merci, Aurélie !
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